Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika. Aby dodać, odjąć lub przyrównać do siebie dwa ułamki, należy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Wspólnym mianownikiem nie musi być najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch mianowników. Może nim być ich dowolna wspólna wielokrotność, na przykład ich iloczyn:
Odpowiedzi blocked odpowiedział(a) o 09:35 ze jak masz liczby 1/2 i 3/2 to 2 i2 to ta sama liczba wiec sporwadzasz ja do najmniejszej wspolnej = 4. I musisz jeszcze 1 i 3, bo 2 razy 2 to cztery więc 1 mnożysz przesz 2, bedzie : 2/4 i tak samo z 3 : 6/4 blocked odpowiedział(a) o 20:19 można spowadzać do wspólnego licznika polega to na tym ża np. liczba 3 /4 4 /5 więc wpólna wielokrotność 3 i 4 to 12 więc piszemy 12 w licznikach z3 zrobiło sie 12 musimy pomnożyc przez4 więc w mianowniku wpisujemy 16 a w 2 ułamku z 4 zrobiło sie 12 czyli razy 3 i w mizowniku wpisujemy 15 Pandaaa5 odpowiedział(a) o 09:37 Nie sprowadza sie do wspolnego licznika tylko do wspolnego mianownika. jesli masz np dwa ulamki 1/2 2/3 wspolny mianownik liczb 2 i 3 bedzie to 6 ;) czyli wyjda z tego ulami 3/6 i 4/6 :) Liilaa odpowiedział(a) o 18:28 Tak najprościej. Sprowadza się mianowniki. np. 1/3 1/5 Na licznik na razie nie patrz tylko na mianownik na dole. Sprowadzanie do wspólnego mianownika to znalezienie wspólnej liczby dzielącej się przez mianowniki. Jesli ją znajdziesz to na dole zamiast tego napisz tą liczbę. w tym przypadku do 15. Ale pamiętaj żeby tą liczbę którą zostawiłaś(tutaj 1) pomnożyc o taką samą liczbę którą pomnożyłaś żeby ten wspólny mianownik 1/3 1/5 to: 5/15 3/15 cherr odpowiedział(a) o 13:31 Jak masz dwa ułamki lub więcej sprowadzasz dolne liczby do wspólnej. A i nie licznika tylko MIANOWNIKA, mianownik jest na dole, a licznik na górze. Uważasz, że ktoś się myli? lub
- oba ułamki zostały sprowadzone do wspólnego mianownika przez rozszerzenie (odpowiednio przez 3 i przez 2), następnie, po zapisaniu na wspólnej kresce ułamkowej, nowe liczniki (tzn. te po rozszerzeniu) zostały dodane. Na samym końcu wyciągnięta została przed ułamek liczba całości (w tym przypadku 1). Odejmowanie ułamków
Niestety w Polsce dyskusja na temat praw człowieka często sprowadzana jest do kwestii małżeństw homoseksualnych i do aborcji – mówi Adam Bodnar w dyskusji „Więzi” z 2014 roku. – Prawo do aborcji czy kwestia prawa antydyskryminacyjnego to papierki lakmusowe radykalnego sporu cywilizacyjnego – dodaje Michał Królikowski. Dyskutowali Adam Bodnar i Michał Królikowski oraz Sebastian Duda i Zbigniew Nosowski (WIĘŹ) Zbigniew Nosowski, Sebastian Duda: Prawa człowieka z samej swej istoty powinny być oczywiste i bezdyskusyjne, tymczasem narasta wokół nich coraz więcej sporów. Jeszcze kilkanaście lat temu zgodnie postrzegano ideę praw człowieka jako coś uniwersalnego – i to nie w sensie porządku prawnego, lecz aksjologii, która za nimi stoi. Obecnie natomiast ta uniwersalność jest albo osłabiona, albo wręcz podważana. Coraz wyraźniej widać, że za rozumieniem praw człowieka, a zwłaszcza ich interpretacją, mogą stać odmienne systemy wartości, które w przestrzeni publicznej pozostają ze sobą w konflikcie. Mimo to wciąż jednak słyszymy powoływanie się na prawa człowieka jako ideę uniwersalną. Czy, Panów zdaniem, rozumienie praw człowieka bardziej obecnie łączy czy dzieli obywateli? Adam Bodnar: Z mojej perspektywy więcej jest zagadnień, które łączą, niż dzielą. Mamy cały szereg praw i wolności, które nie budzą większej wątpliwości co do ich obowiązywania. To wszystkie kwestie fundamentalne: prawo do życia, zakaz tortur i nieludzkiego traktowania, wolność słowa, wolność zgromadzeń, wolność zrzeszania się, prawo do sądu itp. Dla mnie dowodem tej uniwersalności jest też doświadczenie Helsińskiej Fundacji Praw Człowieka, której zdarza się bronić i Telewizji Trwam w związku z procesem koncesyjnym, i osób o zupełnie innych światopoglądach. Są to zatem prawa powszechnie akceptowane – niezależnie od tego, jak się uzasadnia ich pochodzenie. Istotna różnica polega na tym, że w latach 70. i 80. XX wieku pojęciem praw człowieka posługiwano się jako narzędziem zmiany, dążącym do upodmiotowienia jednostki oraz uwolnienia ludzi spod opresji komunistycznej lub innych autorytarnych rządów. Nie analizowano wówczas dokładnie, czym są prawa człowieka. Wiadomo było, że mają przysługiwać wszystkim, że mają być oparte na godności, ale nikt nie wchodził na poziom szczegółowy, nie zastanawiał się, co tak naprawdę to oznacza, chociażby w kontekście kwestii wrażliwych ideologicznie. Natomiast obecnie, w codziennym funkcjonowaniu demokracji, mamy do czynienia zarówno z prawami, których rozumienie łączy, jak i z takimi, których rozumienie dzieli. Te pierwsze wynikają z powszechnego braku zgody np. na przemoc policji, nieefektywne sądy, złe warunki więzienia, nadmierne stosowanie tymczasowego aresztowania, nieprzewidywalność organów podatkowych czy nieefektywność procedur. To są wszystko kwestie, w których, niezależnie od światopoglądu, mamy świadomość, że dzieje się niesprawiedliwość. Druga grupa to zagadnienia, które budzą wątpliwości. Do nich należy przede wszystkim prawo antydyskryminacyjne. W tle jest tu spór o rozumienie zasady równości we współczesnym społeczeństwie: co jest kryterium dyskryminacyjnym, na ile ochrona godności osób dyskryminowanych może uzasadniać określone regulacje. Królikowski: Rozwój doktryny praw człowieka prowadzi od uniwersalnej zgody do sporów Niestety w Polsce, nad czym ubolewam, dyskusja na temat praw człowieka często sprowadzana jest do kwestii małżeństw homoseksualnych i do aborcji. Moja organizacja w 95 proc. zajmuje się sprawami niekontrowersyjnymi. Mimo to koledzy prawnicy z poważnych kancelarii postrzegają mnie jako faceta od lewaków, gejów, lesbijek i aborcji. Do tych kwestii – niesłusznie! – zostały sprowadzone prawa człowieka. Dla nas jako fundacji drogowskazem jest natomiast orzecznictwo Europejskiego Trybunału Praw Człowieka. Staramy się nim kierować, określając standardy, w szczególności w sprawach aborcyjnych. Uważamy bowiem, że nie mamy wystarczającego uzasadnienia w doktrynie praw człowieka, aby rozstrzygnąć, czy aborcja może być dopuszczalna w takich lub innych okolicznościach (wątpliwości nie mamy jedynie w sytuacji zagrożenia życia matki). Musimy zatem opierać swoją argumentację na zasadach państwa prawa. Sprawdzamy więc, czy kobiety mogą faktycznie skorzystać z prawa do przerywania ciąży w przypadku zaistnienia okoliczności przewidzianych ustawą. Tak było choćby w latach 2005–2006, gdy trwał spór wokół sprawy Alicji Tysiąc. Pod tym względem nasze podejście się nie zmieniło. Troszczymy się o gwarancje ze strony państwa, gdy w niektórych sytuacjach aborcja jest legalnie dostępna. Michał Królikowski: Rzeczywiście istnieje atmosfera, wedle której – upraszczając – dyskusja o prawach człowieka zaczyna się i kończy na aborcji. Bo też istotnie spory wokół kilku najbardziej wrażliwych punktów w doktrynie ochrony praw człowieka pokazują znacznie poważniejsze zjawiska i problemy. Prawo do aborcji czy kwestia prawa antydyskryminacyjnego to papierki lakmusowe radykalnego sporu cywilizacyjnego, który przenosi się na koncepcję praw człowieka. Wyznam osobiście, że dlatego właśnie ilekroć spotykam się z Adamem Bodnarem, mam wrażenie spotkania adiutantów dwóch generałów wojsk stojących po przeciwnej stronie frontu, którzy bardzo się cenią i szanują, ale bardzo rzadko mają okazję do tego, żeby zrobić coś razem – zaś rzadkie momenty, w których udaje się nam stanąć po tej samej stronie frontu, są dla mnie jedną z największych radości. Ze względu na pełnioną funkcję mam obecnie perspektywę występowania w imieniu państwa, które siłą rzeczy pozostaje pod kontrolą takich organizacji, jak Helsińska Fundacja Praw Człowieka. Zdarzają się sytuacje, w których interes państwa stoi w sprzeczności z pewnymi gwarancjami indywidualnymi. Parokrotnie udało nam się z Adamem zbliżyć na tyle, że – każdy ze swojej pozycji – broniliśmy pewnego uwspólnionego poglądu na to, co jest istotą wolności. W takich momentach jestem przekonany, że prawa człowieka są jednak w stanie łączyć. Nie zgodzę się, że wszyscy wiemy, czym są prawa człowieka. Moim zdaniem, do kwestii praw człowieka ludzie podchodzą od strony fenomenologicznej, od sytuacji naruszenia tego, co uznają za swoje dobro indywidualne. W doktrynie prawa europejskiego prawa człowieka wyrosły z doświadczenia ogromnego systemu hitlerowskiego bezprawia, które naruszało podstawową kondycję człowieka. Dlatego klasyczne prawa człowieka są związane z ochroną godności, życia, wolnością od tortur, legalnością działania organów państwa – bo one wyrastają z doświadczenia podeptania człowieka. Filozoficznym uzasadnieniem tego myślenia stała się personalistyczna wizja człowieka. Powszechna Deklaracja Praw Człowieka opiera się na antropologii św. Tomasza z Akwinu podkreślającej podmiotowość jednostki. Przez długi czas ta doktryna dominowała. Obecnie natomiast następuje przemiana kontekstu aksjologicznego – odchodzenie od myślenia personalistycznego. Rozwój doktryny praw człowieka prowadzi zatem od uniwersalnej zgody do sporów. Początkowo prawa człowieka wyrosły z doświadczenia bezprawia, zostały zdefiniowane w kategorii afirmacji osoby, ale wciąż opisywano je negatywnie – na zasadzie sprzeciwu wobec tego, czego naruszać nie wolno. Stopniowo zaczęły one jednak „pączkować”. Rozwijano dodatkową pozytywną treść praw człowieka, zaczęto mówić o ich horyzontalnym oddziaływaniu, obowiązywaniu między jednostkami – a to nie jest już sprawa oczywista. Niektóre interpretacje opierają się na jakościowo innym poglądzie na to, kim jest człowiek i jak powinny być chronione jego interesy. Podstawowe jest więc dla mnie pytanie, co to za nowa koncepcja antropologiczna, z czego ona wyrasta i jak uzasadnia istnienie praw człowieka oraz konieczność ich zabezpieczania. Jaka to jest koncepcja wolności człowieka, godności osoby ludzkiej? O tym się nie mówi – i to jest jeden z powodów, że tak trudno się na ten temat rozmawia. Dyskusji o prawach człowieka nie można opierać wyłącznie na etyce sentymentalizmu – czyli kwestię naszej wrażliwości na krzywdę drugiego człowieka (np. współczucie dla Alicji Tysiąc czy pacjentki dr. Chazana). Trzeba wypowiedzieć filozoficzną i aksjologiczną wizję, która stoi za takim podejściem. Bodnar: Owszem, Powszechna Deklaracja Praw Człowieka została sformułowana w oparciu o personalistyczną filozofię Jacquesa Maritaina. To była piękna idea, w którą nie wierzyły nawet niektóre państwa, które ją promowały. Symboliczną postacią jest choćby Eleonora Roosevelt, która fotografowała się z Powszechną Deklaracją Praw Człowieka, ale przecież Stany Zjednoczone znane były wtedy z dyskryminacji rasowej, stosowania kary śmierci i innych praktyk całkowicie sprzecznych z zasadami tej Deklaracji. O wiele lepiej odrobiły tę lekcję kraje europejskie, które przeżyły tragedię II wojny światowej. Niemiecka Ustawa Zasadnicza jest niemal kopią Deklaracji Praw Człowieka. Uważam, że od tego czasu niewiele się zmieniło. Wielkie tragedie, nawet ludobójstwa, cały czas się powtarzają – co potwierdza sens odwoływania się do klasycznych praw człowieka. W takich sytuacjach prawa człowieka są instrumentem naprawiania rzeczywistości po fakcie, ale także narzędziem przeciwdziałania temu, co się potencjalnie może stać w przyszłości – bo pozwalają definiować zło. Michał Królikowski mówił o „pączkowaniu” praw człowieka, o ich obrastaniu różnymi dodatkowymi elementami. Zgadzam się, że pojawiły się propozycje, które odciągają nas od właściwego zrozumienia, czym w istocie są prawa człowieka. Problemem stanowią np. prawa socjalne. Są one oczywiście bardzo istotne, natomiast bez odpowiednich zasobów budżetowych nie da się wielu z nich urzeczywistniać. Nie bez przyczyny określa się je jako prawa człowieka drugiej generacji. Jednakże sprowadzanie praw i wolności politycznych oraz praw socjalnych do tego samego mianownika, szczególnie jeśli państwom trudno jest w pełni zagwarantować prawa socjalne, obniża rangę praw i wolności osobistych i politycznych. Jest również tzw. trzecia generacja praw człowieka, czyli prawa zbiorowe: do zrównoważonego rozwoju czy do ochrony środowiska. W tym przypadku nośne hasło praw człowieka jest używane w celach politycznych, które mają charakter mało indywidualny i trudny do zdefiniowania. A przecież ochronę środowiska niezwykle trudno jest ujmować w kategoriach praw człowieka jako praw indywidualnych! Nie da się tego przełożyć na język praktyki i dochodzić jakichś realnych uprawnień przed sądem. Prawa człowieka nie są narzędziem do uszczęśliwiania świata. To jest zła strona „pączkowania” – pojęcie praw człowieka bywa nadużywane; nagle wszyscy mówią: „prawa człowieka”, a każdy używa innego języka aksjologicznego. Jest jednak również dobra strona owego „pączkowania” – fakt, że Europejski Trybunał Praw Człowieka i inne trybunały międzynarodowe odpowiadają na rozwój nowych problemów, na pojawianie się nowych zagrożeń. To jak najbardziej pożądana działalność. Tylko że tu dochodzimy do – bardzo klasycznego – problemu uprawnienia sądów (czy to konstytucyjnych, czy międzynarodowych) do de facto stanowienia prawa. Powstaje pytanie o legitymizację trybunałów do wydawania wyroków, które dokonują twórczej interpretacji dokumentów konstytucyjnych i międzynarodowych, a w ten sposób mogą zastępować parlamenty narodowe w określaniu zakresu gwarantowanych praw. Bodnar: Wielkie tragedie, nawet ludobójstwa, cały czas się powtarzają – co potwierdza sens odwoływania się do klasycznych praw człowieka Jako przykład pozytywny można podać całą serię orzeczeń ETPCz, które zostały uzyskane dzięki aktywności organizacji pozarządowych. Charakterystyczna jest sprawa Opuz przeciwko Turcji. To pierwsza sprawa, w której uznano, że brak reakcji państwa na sygnalizowaną przemoc domową jest naruszeniem praw człowieka; że państwo w takiej sytuacji ma obowiązek wkroczyć i zapobiec tragedii. Ten konkretny przypadek skończył się zamordowaniem teściowej i wielokrotnym ciężkim pobiciem żony przez agresywnego Turka, a państwo tureckie w ogóle nie reagowało. Inna sprawa dotyczy przypadków przymusowej, wręcz niewolniczej pracy imigrantów, najczęściej z Mauretanii, w domach Brytyjczyków. Królikowski: Orzecznictwo Europejskiego Trybunału Praw Człowieka z pewnością jest wyznacznikiem odczytywania standardów. Trzeba jednak mieć świadomość, że Trybunał również nie jest neutralny, ponieważ jest zainteresowany rozwojem określonej koncepcji praw człowieka. Czasem nie mam wobec orzeczeń ETPCz zastrzeżeń, bo np. sytuacja, w której państwo nie reaguje na informacje o przemocy stosowanej w rodzinie i jej eskalacji, jest oczywiście karygodna i bez wątpienia jest to naruszenie praw człowieka. Przywołam jednak inny przykład. Po wyroku w sprawie Alicji Tysiąc powstało wiele jego recenzji. Ja w swojej zwróciłem uwagę na arbitralny wybór dokonany przez ETPCz. Owszem, orzeka on na podstawie prawa obowiązującego w danym państwie, stosując do niego pewne międzynarodowe wymogi. W sprawie pani Tysiąc Trybunał uznał arbitralnie, że w Polsce jest „prawo do aborcji”. Tymczasem w tej kwestii istnieje spór. Ja stoję na stanowisku, że prawo polskie zakazuje aborcji, a jedynie uchyla jej karalność. Trybunał preferencyjnie wybrał jedno ze stanowisk i następnie, skoro są to prawa, wprowadził obowiązek istnienia przepisów proceduralnych, które umożliwią wyegzekwowanie zabiegu przerwania ciąży. Spotkałem potem jednego z sędziów Trybunału, który orzekał w tej sprawie. Popatrzył na mnie spode łba i powiedział, nawiązując do mojej recenzji: „Pan jako jedyny zrozumiał, o co tak naprawdę chodziło sędziemu sprawozdawcy”. To była absolutnie szczera rozmowa. Ona pokazuje problem kreowania przez Trybunał określonych aksjologicznie standardów, w tym wypadku zdecydowanie odbiegających od pierwotnej koncepcji praw człowieka. Bodnar: Cały problem polega na tym, że jak się mówi o prawie do aborcji, to automatycznie zakłada się, że prawo do aborcji równa się prawom człowieka. A przecież trzeba rozróżnić prawa człowieka od publicznych praw podmiotowych, które przysługują jednostce na podstawie przepisów ustawowych. Publiczne prawa podmiotowe to te prawa, które wynikają z obowiązujących przepisów prawa. Dzięki nim mamy w stosunku do państwa określone roszczenia, ale nie zdefiniujemy ich jako praw konstytucyjnych czy praw podstawowych. Publicznym prawem podmiotowym jest np. prawo do becikowego czy do mieszkania socjalnego. Jeśli coś jest przewidziane ustawą, a w Polsce ustawa w pewnych przypadkach dopuszcza legalną aborcję – to kobieta ma prawo domagać się realizacji tego uprawnienia. Nie może być stawiana pod ścianą przez lekarzy, którzy np. odmawiają jej badań prenatalnych lub którzy pracują w instytucji powołującej się jako całość na klauzulę sumienia. W takiej sytuacji obowiązkiem państwa jest respektowanie swoich przepisów. Tylko tyle. Czyli zgodziłby się Pan ze stwierdzeniem, że aborcja nie należy do uniwersalnych praw człowieka, może natomiast być prawem podmiotowym wynikającym z takiej, a nie innej treści ustawy? Bodnar: Tak, z wyjątkiem sytuacji zagrożenia życia matki. W tym wypadku istnieją wyraźne standardy międzynarodowe wskazujące, że nie można stawiać życia płodu ponad życiem matki. W innych przypadkach trybunały międzynarodowe raczej powstrzymują się od orzekania i wkraczania w domenę zastrzeżoną dla parlamentów narodowych. To ważne, bo w debacie publicznej często słyszymy jednak argument o prawie do aborcji jako prawie człowieka. Bodnar: Chciałbym natomiast przypomnieć, że były także orzeczenia polskiego Sądu Najwyższego, które nie pozostawiały wątpliwości, że prawa przewidziane artykułem 4a Ustawy o planowaniu rodziny to publiczne prawa podmiotowe. Można więc mówić o naruszeniu praw pacjenta ze względu na odmowę przeprowadzenia zabiegu aborcji w sytuacji, gdy jest to prawnie dopuszczalne. Królikowski: Mam jednak wrażenie, że w tym, co mówisz, Adamie, jest także wybór pewnej opcji aksjologicznej. Otóż chyba nie tylko uważasz, że podstawa „prawa do aborcji” znajduje się w ustawie, lecz także sięgasz do pewnych kategorii pozaprawnych – będąc przekonanym, że to powinno być zapisane w ustawie, że to element uprawnienia jednostki, który musi być przez państwo zagwarantowany. Bodnar: Powołuję się na teorię efektywności prawa, która jest ugruntowana, bo jest konsekwencją zasady państwa prawa. Chodzi w niej o to, że poszczególne uprawnienia przewidziane w różnych przepisach ustawowych powinny skutkować konkretnymi, realnymi gwarancjami ich ochrony, a nie tylko być teoretyczne i widnieć na papierze. Tej doktryny nie stworzono na potrzeby kwestii aborcji. Jest mnóstwo orzeczeń, w których ona się pojawia i ma bardzo konkretne, praktyczne zastosowania. Królikowski: Ale ja uparcie poszukuję antropologii będącej fundamentem tego „nowego” myślenia o prawach człowieka. Kiedyś na przykład gorąco dyskutowaliśmy w Katedrze Prawa Karnego Porównawczego na Uniwersytecie Warszawskim, jaka wizja normatywna praw człowieka stoi za orzecznictwem dotyczącym odszkodowania za wadliwe urodzenie (chodzi o sytuację, gdy lekarz nie poinformował rodziców, iż dziecko urodzi się niepełnosprawne, więc oni nie mogli skorzystać z dopuszczalnej prawem aborcji). To przecież sytuacja, w której urodzenie postrzegamy jako źródło szkody! Rozmawiałem o tym z szefową mojej katedry, prof. Eleonorą Zielińską. Aksjologicznie znajduje się ona na przeciwległym biegunie niż ja, ale jest znakomitą szefową, kobietą bardzo uczciwą i całkowicie antydyskryminacyjną. Królikowski: Prawa reprodukcyjne nie mają w prawie podstawy normatywnej. Nie ma żadnego aktu prawa międzynarodowego, który zawierałby to pojęcie. Ono pojawia się tylko i wyłącznie w rezolucjach o charakterze bardziej politycznym W tamtej dyskusji okazało się, że podstawową rolę odgrywa tu etyka sentymentalizmu. Prof. Zielińska w końcu powiedziała do mnie: „Pan jest taki wrażliwy. Dlaczego nie jest pan wrażliwy na to cierpienie kobiety?”. A ja równie poważnie odpowiadam: „Jestem na to cierpienie wrażliwy, tylko ta wrażliwość nie może mi przysłonić wrażliwości na to, że istnieje również dziecko i jego cierpienie”. Później także w innych podobnych dyskusjach przekonałem się o kluczowej roli etyki sentymentalizmu i przekonania, że można przeżyć życie, unikając cierpienia. Klasycznie rozumiane prawa człowieka wyprowadzano z antropologii personalistycznej, obecnie ich uzasadnieniem ma być etyka sentymentalizmu. Dlatego mamy wrażenie cywilizacyjnego sporu o prawa człowieka. Bodnar: Można to powiedzieć inaczej – że etyka sentymentalizmu bierze się z poczucia, iż jakiejś osobie dzieje się krzywda i z tego powodu należy podjąć ochronę jej praw oraz przemyśleć to doświadczenie na przyszłość jako lekcję dla innych. Nie lekceważyłbym również ustawowego uzasadnienia tej etyki. Oznacza to bowiem, że ustawodawca w pewnym momencie polskiej historii przemyślał już tę sprawę i podjął taką, a nie inną decyzję: że w określonych sytuacjach będziemy z troską podejmowali pewne działania i będziemy pozwalali na to, żeby ta krzywda nie była przez kobietę dalej ponoszona. Tę decyzję nazywa się w naszej tradycji kompromisem aborcyjnym. Niektóre środowiska twierdzą, że to nie był kompromis, lecz przymuszenie, i chcą tę ustawę zmodyfikować. Nie chciałbym wchodzić w to zagadnienie, bo wolę dyskutować na gruncie obowiązujących przepisów prawa. Zresztą również w orzeczeniach strasburskiego trybunału widać szacunek dla tego kompromisu. Trybunał absolutnie nie chciał wchodzić w spór dotyczący przesłanek dopuszczalnej aborcji. Skupił się jedynie na kwestiach proceduralnych – możliwości wyrażenia sprzeciwu wobec decyzji lekarza odmawiającej aborcji. Trybunał w takich przypadkach stosuje koncepcję marginesu oceny, a więc pozostawia pewną swobodę krajowemu ustawodawcy, nie wkracza w te dziedziny, w których historia, kultura, tradycja w danym państwie wpływają na taki, a nie inny kształt regulacji. W ostatnim czasie można wręcz mówić o narastającej zachowawczości decyzji Trybunału, czego przykładem jest wyrok dopuszczający eksponowanie krzyży we włoskich szkołach. Królikowski: Wydaje mi się, że na poziomie ogólnej rozmowy o prawach człowieka i w takich organach orzeczniczych jak ETPCz łatwo osiągnąć zgodę co do ogólnych stwierdzeń, np. że trzeba chronić godność jednostki. Natomiast problem pojawia się, gdy zaczynamy wchodzić w treść tego, co jest godnością. Wokół pojęcia godności też zachodzą w prawie ciekawe procesy. Z jednej strony mamy absolutyzowanie pojęcia godności i jego roli w doktrynie praw człowieka, a z drugiej strony – dewitalizację godności, nadawanie temu pojęciu charakteru wydmuszki. Mówię o wydmuszce, bo coraz mniej się w takim rozumieniu godności mieści. Coraz mniej tam elementów związanych z bytem podmiotu, a coraz więcej związanych z pojęciem życia godnego czy szeroko pojętym prawem do prywatności. To jest kolejne istotne kulturowe przesunięcie w zakresie koncepcji normatywnej podstawowych praw człowieka. Myślę, że jest ono najbardziej wyraźne w przestrzeni prawa antydyskryminacyjnego. Wprowadzane też są niejasne pojęcia, na zasadzie konia trojańskiego. Typowy przykład to prawa reprodukcyjne. Pierwotnie pojęcie to oznaczało dążenie do zagwarantowania dostępu do prawidłowej opieki medycznej dla kobiet w ciąży i kobiet w połogu. Bardzo szybko jednak pojawiło się rozumienie poszerzone – jako prawo do decydowania o swoim rodzicielstwie, a więc o zajściu w ciążę i przerwaniu ciąży. To jest operacja socjotechniczna, która dąży do włączenia aborcji w zespół uprawnień jednostki, które muszą być gwarantowane. Dlatego mówię, że to pojęcie jest koniem trojańskim. A sprawa jest tym bardziej niejasna, gdyż prawa reprodukcyjne nie mają w prawie podstawy normatywnej. Nie ma żadnego aktu prawa międzynarodowego, który zawierałby to pojęcie. Ono pojawia się tylko i wyłącznie w dokumentach towarzyszących, czyli w rezolucjach o charakterze bardziej politycznym. To przykład pojęcia o godnościowej proweniencji, będącego pierwotnie wyrazem wrażliwości na realną krzywdę, któremu obecnie nadaje się znaczenie ideologiczne, w istotny sposób wykraczające poza doświadczenie krzywdy, które było jego podstawą. Bodnar: Owszem, istnieje problem z pojęciem praw reprodukcyjnych. Sam stosuję je, poniekąd zbiorczo ujmując pewną grupę problemów. Natomiast na poziomie międzynarodowym pojawia się ono w rekomendacjach specjalnego sprawozdawcy ONZ ds. zdrowia i w dokumentach Komitetu NZ ds. Likwidacji Dyskryminacji Kobiet oraz Komitetu NZ ds. Praw Społecznych, Gospodarczych i Kulturalnych w kontekście prawa do zdrowia. Natomiast w żadnej konwencji międzynarodowej nie znajdziemy tego pojęcia. Powszechnie jednak pojawia się ono w debatach publicznych. Bodnar: Najczęściej dzieje się to tak, że z uznawanego w dokumentach międzynarodowych prawa do najwyższego standardu ochrony zdrowia wyprowadzane czy wyinterpretowywane jest prawo do zdrowia reprodukcyjnego. Mam styczność z międzynarodową organizacją o nazwie Centrum Praw Reprodukcyjnych (Centre for Reproductive Rights). Współpracuje ona z polską Federacją na rzecz Kobiet i Planowania Rodziny, a prowadzi działalność między innymi w Ameryce Południowej, gdzie w niektórych państwach aborcja jest całkowicie zakazana. Prawniczki tej organizacji próbują walczyć o dostępność prawa do przerwania ciąży, bo nie istnieją tam jakiekolwiek przepisy ustawowe na to pozwalające, nawet w sytuacji zagrożenia życia matki. Udaje im się też osiągać sukcesy w tym zakresie przed Komitetem Praw Człowieka ONZ. Myślę, że trzeba pamiętać o tym, iż są jednak poszczególne osoby, które znajdują się w bardzo trudnej sytuacji i które albo uważają, że należy egzekwować prawo obowiązujące w danym państwie, albo sądzą, że prawo całkowicie zakazujące aborcji jest po prostu głęboko niesprawiedliwe i narusza ich prawa człowieka, w tym ich prawo do życia. Tego nie można ignorować. Bodnar: zakłada się, że prawo do aborcji równa się prawom człowieka. A przecież trzeba rozróżnić prawa człowieka od publicznych praw podmiotowych, które przysługują jednostce na podstawie przepisów ustawowych Raz jeszcze podkreślę, że na poziomie orzecznictwa ETPCz w tego typu wrażliwych kwestiach można mówić o zachowawczości Trybunału. Na przykład w orzeczeniach dotyczących regulacji in vitro Trybunał wyraźnie odmawia tworzenia standardów ogólnoeuropejskich – tak różne są bowiem regulacje w poszczególnych krajach. Dlatego nie obawiałbym się, że trybunały międzynarodowe będą chciały stanowczo zmieniać polską rzeczywistość, w tym wpływać na regulacje krajowe – one zdają sobie bowiem sprawę ze swojego ograniczonego mandatu. Przy rozpoznawaniu spraw, które mogą budzić wątpliwości, wyraźnie zmierzają w stronę respektowania odrębnych tradycji i kulturowych odmienności państw. Ma to zresztą wkrótce zostać podkreślone w preambule do Europejskiej Konwencji Praw Człowieka, gdyż zostało postanowione, że koncepcja marginesu oceny zostanie do niej dopisana. Królikowski: Gorzej jest z komitetami eksperckimi powoływanymi przez Radę Europy, które mają charakter ewaluacyjny i sprawdzają, czy państwo zachowuje standardy. Jest np. Komitet GRECO działający na rzecz przeciwdziałania korupcji. Ostatnia jego runda ewaluacyjna zarzuciła Polsce naruszenie standardów, bo nie wprowadziliśmy pewnych mechanizmów przezwyciężania korupcji urzędników międzynarodowych, które wynikają z protokołu 2 Konwencji. Tylko że Polska tego protokołu nie ratyfikowała. Nie zobowiązała się do respektowania tego standardu, ale została rozliczona z jego nieprzestrzegania. Taki dokument nie jest pozbawiony wagi. Ma on znaczenie polityczne, jest potem stosowany w dyskusjach na temat przestrzegania praw człowieka w danym kraju, nawet w Komitecie Ministrów Rady Europy. Te komitety potrafią być bardzo ekspansywne w interpretacji, a nawet kreowaniu standardów. A są one pozbawione legitymacji demokratycznej, bo mają charakter ekspercki. Mimo to rozliczają państwa w dużej mierze według pewnej własnej wizji. Bodnar: W takiej sytuacji powinna pójść nota do MSZ, żeby zainterweniował i zaprotestował. Królikowski: Nota poszła, interwencja była – ale rekomendacja, że Polska nie spełnia standardów antykorupcyjnych, pozostała. Przywołuję tę sytuację jako przykład pewnego zabiegu socjotechnicznego, który w gruncie rzeczy jest pomysłem społeczno-normatywnym. A co z klauzulą sumienia? Czy jest respektowana na poziomie międzynarodowym? Bodnar: Istnieje wyraźna linia orzecznicza ETPCz, zwracająca uwagę na aspekt poszanowania własnego sumienia w kontekście świadczonego zawodu. Trybunał ostatnio rozstrzygał sprawy dotyczące noszenia krzyża w widocznym miejscu przez pracownicę linii lotniczych, odmowy rejestrowania związków partnerskich przez osobę wierzącą czy świadczenia porad małżeńskich na rzecz par homoseksualnych. W takich sytuacjach odpowiedzi należy szukać w precyzji krajowych regulacji, na ile przewidywały one możliwość powołania się na wiarę, aby nie dokonywać określonych czynności. Poza tym liczy się proporcjonalność, czyli adekwatność restrykcji w stosunku do określonego celu publicznego. Bierze się także pod uwagę pytanie, czy istnieją inne sposoby, aby pogodzić wyznawaną wiarę z wykonywaniem określonego zawodu. Nakłada to jednak na państwo odpowiedzialność w zakresie odpowiedniej regulacji. Czym innym bowiem jest konkretna osoba, a czym innym państwo. Jednostka może odmówić porad małżeńskich parze gejowskiej, ale państwo musi zagwarantować ich dostępność, jeśli uznaje małżeństwa jednopłciowe. Podobnie w kwestii prawa do legalnej aborcji. Państwo musi zapewnić, aby ta dostępność istniała, nawet jeśli indywidualny lekarz odmówi jej wykonania, powołując się na klauzulę sumienia. Królikowski: Najpierw powiem nie o kwestii prawnej, lecz etycznej. Otóż w każdej sytuacji, gdy komuś dzieje się krzywda, także gdy kobieta drży ze strachu, co zrobi, jak urodzi dziecko, bo boi się tego, czy da sobie radę – konieczna jest pomoc ze strony innych ludzi, konieczne jest zaangażowanie. Lekarz, który korzysta z klauzuli sumienia i odmawia zabiegu przerwania ciąży, zaciąga na siebie ogromny moralny obowiązek zaangażowania się w pomoc tej kobiecie. Jemu nie wolno w takiej sytuacji zakończyć swojej misji tylko odmową. Sumienie, na które się powołuje, zobowiązuje go do czegoś więcej. W praktyce prawa pojawia się nieraz konkurencja pomiędzy prawem do wolności sumienia (wyraża je klauzula sumienia) a prawem do aborcji (rozumianym oczywiście jako prawo podmiotowe wynikające z ustawy, a nie podstawowe prawo człowieka). Oba te uprawnienia mają podobny charakter, praktyka jednak wskazuje, że ten konflikt jest najczęściej rozstrzygany na korzyść uprawnienia do aborcji. Europejski Komitet ds. Zapobiegania Torturom powie nawet, że korzystanie z klauzuli sumienia prowadzi do tego, że dochodzi do naruszenia zakazu tortur i nieludzkiego traktowania. Tym samym aborcja jest traktowana tak jakby była prawem podstawowym. W jaki sposób można powołać się na sumienie, żeby naruszyć zakaz tortur? Królikowski: Nadużywanie przez lekarzy klauzuli sumienia powoduje brak możliwości efektywnej realizacji prawa do aborcji. Zdaniem Komitetu ds. Przeciwdziałania Torturom przy ONZ jest to naruszenie zakazu tortur i nieludzkiego traktowania. Bodnar: Tu muszę sprostować. Konwencja Przeciwko Torturom ONZ i Europejska Konwencja Praw Człowieka wymieniają jednym tchem zakaz tortur oraz nieludzkiego i poniżającego traktowania. Ale pomimo tego należy odróżniać pojęcie tortur od pojęcia nieludzkiego i poniżającego traktowania. Przyjmuje się w praktyce, że cierpienie psychiczne ciężarnej kobiety – wynikające ze stanu niepewności w kwestii tego, co się stanie z jej życiem i czy będzie mogła przerwać ciążę; spowodowane serią odmów ze strony lekarzy czy ich milczeniem – można kwalifikować jako nieludzkie i poniżające traktowanie, czyli naruszenie prawa człowieka. Nie jest to jednak kwalifikowane przez organy międzynarodowe jako tortura. To pojęcie jest zastrzeżone dla innych sytuacji (np. wymuszania siłą zeznań). Niemniej publicyści mają tendencję do nadużywania pojęcia tortur w kontekście braku dostępności zabiegów przerywania ciąży i związanego z tym traktowania kobiet. Zestawienie tej sytuacji z torturami powoduje jednak pewien zamęt pojęciowy. Jest to niedopuszczalne poszerzanie znaczenia pojęcia tortur. Królikowski: A mnie chodzi tu o przeniesienie: z poziomu naruszenia ustawowych uprawnień jednostki przechodzimy na poziom złamania podstawowych praw człowieka w klasycznym ujęciu. To przeniesienie jest nieuzasadnione. Nie mówiliśmy jeszcze o prawach osób homoseksualnych. To kolejna istotna przestrzeń sporna. Królikowski: Moje stanowisko jest takie: dyskryminacja w stosunku do osób homoseksualnych jest zła, ale dlatego że jest to dyskryminacja ze względu na osobę, a nie ze względu na to, że ktoś jest homoseksualistą. To delikatne rozróżnienie. Pierwszy argument nawiązuje do klasycznej koncepcji praw człowieka, drugi już nie. Bodnar: Piękna deklaracja, ale czy idą za nią czyny? W Polsce dość częste są przypadki przemocy wobec osób homoseksualnych. Mamy regularnie do czynienia z przemocą słowną, czyli tzw. mową nienawiści. Istnieją projekty przepisów, które mają zwiększyć ochronę tych osób, ale mam wrażenie, że to właśnie Twoje, Michale, działania jako ministra prowadzą do tego, żeby w obecnej kadencji Sejmu nic się z tymi przepisami nie stało i żeby artykuły 256, 257 i 119 kodeksu karnego nie zostały znowelizowane. Przedłużanie konsultacji służy właśnie temu, aby nie doprowadzić do uchwalenia przepisów, które mogłyby podwyższyć poziom ochrony osób homoseksualnych jako osób indywidualnych. Królikowski: Jeżeli jest stosowana przemoc wobec osoby ze względu na przesłanki dyskryminacyjne, to już obecnie jest to karalne. Przesłanki dyskryminacyjne są dyrektywą, która ma wpłynąć jedynie na zwiększenie wymiaru kary. Tu nie potrzeba żadnego dodatkowego rozwiązania. Problemem jest co innego – fakt, że pewna grupa osób, które czują się skrzywdzone dlatego, że są homoseksualne, chce mieć wyraźnie napisane, że właśnie z tego powodu są one dyskryminowane. Ale dlaczego mamy wprowadzać do kodeksu karnego konia trojańskiego? Bodnar: Wprowadzenie orientacji seksualnej do kodeksu karnego byłoby koniem trojańskim? Królikowski: Może nie koniem trojańskim. Ale pozwalałoby tworzyć znacznie dalej idące roszczenia. Z perspektywy prawnej nie ma potrzeby wprowadzania tej przesłanki dyskryminacyjnej. Bodnar: Z mojego punktu widzenia wygląda to natomiast tak, że dopóki nie będzie orientacji seksualnej w tych przepisach, to nie będzie można ścigać tego zła, które się dzieje, nie będzie można zaangażować prokuratorów i ścigać tych przestępstw z urzędu. Mówiłeś wcześniej, Michale, o godności. Dla mnie z uznania godności osoby wynika obowiązek państwa, by chroniło każdą osobę, zwłaszcza jeśli należy ona do grupy marginalizowanej, wykluczonej, upośledzonej czy tradycyjnie dyskryminowanej. Państwo ma wręcz według mnie dodatkowy obowiązek doprowadzenia za pomocą różnego rodzaju regulacji do sytuacji, w której te osoby będą miały równe szanse na normalne życie w społeczeństwie – tak aby nie doznawały krzywdy, a ich prawa były respektowane. Królikowski: Byłem „twarzą” protestu przeciwko stworzeniu związków partnerskich na matrycy małżeństwa. Uważam jednak, że system prawny ma obowiązek zapewnienia poszanowania dla trwałej relacji, która łączy osoby homoseksualne Uważam też, że małżeństwo jako instytucja prawna, jako forma uregulowania statusu społecznego jest wielką wartością w życiu człowieka. Jest czymś pięknym, że państwo może uznać dwie osoby za jedną wspólnotę i wspierać ich miłość. Osoby obdarzone przez naturę pociągiem wobec osób tej samej płci powinny więc mieć takie samo prawo do równego życia w tym społeczeństwie, bo miłość jest czymś nierozerwalnie związanym z istotą życia człowieka. Tak uważam jako Adam Bodnar, biorąc szczególnie pod uwagę moje osobiste doświadczenia. Jako prawnik wiem natomiast, że Konstytucja RP mówi o trwałości małżeństwa jako związku kobiety i mężczyzny. Nie przekonują mnie argumenty próbujące wyprowadzić prawo do małżeństwa dla osób tej samej płci z rozdziału drugiego Konstytucji, czyli katalogu praw i wolności jednostki. To jest niewystarczająca podstawa aksjologiczna. Natomiast uważam, że cały rozdział drugi Konstytucji wręcz nakazuje ustawodawcy, aby biorąc pod uwagę godność osoby, w tym osoby homoseksualnej, uregulowano w jakimś zakresie możliwość w miarę pełnej realizacji prawa do miłości. Królikowski: To bardzo poważny argument. Ale pozwól, że najpierw podkreślę, iż to, co mówisz, jest potwierdzeniem przedstawionej przeze mnie diagnozy sytuacji. Po pierwsze, że dokonuje się przesunięcie kategorialne w pojęciu godności. W Twojej interpretacji godność jest bardzo sprywatyzowana czy zsubiektywizowana. Po drugie, z tej podstawy normatywnej wyprowadzasz konieczność uznania przez państwo uprawnień antydyskryminacyjnych. To, co powiedziałeś, jest jednak bardzo ważnym punktem wyjścia do rozmowy na temat tego, czym jest prawo i jak powinno być ukształtowane. Jednym z powodów nieporozumień między prawnikami jest bowiem to, że spieramy się o to, jakie mają być przepisy, nie rozmawiając o tym, jak różnimy się na poziomie głębszym, fundamentalnym. Twoja argumentacja oparta jest na etyce sentymentalizmu, ale nie w znaczeniu negatywnym. Wychodząc z innego rozumienia godności, uważam, że są podstawy do różnego traktowania różnych form życia wspólnego – ze względu na to, jaki mają one wkład w dobro wspólne. Tym samym są podstawy do rozróżniania sposobów instytucjonalizacji tych relacji społecznych. Owszem, byłem „twarzą” protestu przeciwko stworzeniu związków partnerskich na matrycy małżeństwa. Uważam jednak, że system prawny ma obowiązek zapewnienia poszanowania dla trwałej relacji, która łączy osoby homoseksualne. Wręcz z tego samego powodu, dla którego powinno chronić się dziecko nienarodzone, powinniśmy też wprowadzić rozwiązania gwarantujące poszanowanie dla wrażliwości wynikającej z tej relacji emocjonalnej, jaka łączy pary homoseksualne. Godność dziecka poczętego i godność osób wchodzących w relację związku jednopłciowego jest jednakowa, choć różnie przez nie eksponowana. Wymaga więc tego samego rozpoznania i poszanowania. Stąd też problem „instytucjonalizacji” związków partnerskich powinien być rozwiązany – przez ułatwione udowadnianie istnienia wspólnego pożycia jako przesłanki dostępu do informacji medycznej o stanie zdrowia pacjenta czy ochrony podczas procesu karnego. W ten sposób, zachowując zasadę promocji małżeństwa, można to zrobić zgodnie z Konstytucją. Państwo nie powinno lekceważyć zarówno życia dziecka nienarodzonego, jak i istoty relacji pomiędzy dwojgiem osób. Bodnar: To dobre zakończenie tej dyskusji… Dyskusję prowadzili Sebastian Duda i Zbigniew Nosowski. Jej zapis ukazał się w kwartalniku „Więź” nr 3/2014. Adam Bodnar – ur. 1977, prawnik, wykładowca akademicki, działacz na rzecz praw człowieka. Rzecznik Praw Obywatelskich od 2015 roku. Absolwent Wydziału Prawa i Administracji Uniwersytetu Warszawskiego. Ukończył również studia z zakresu prawa konstytucyjnego porównawczego w Central European University w Budapeszcie. W 2006 roku uzyskał na Uniwersytecie Warszawskim stopień naukowy doktora nauk prawnych z zakresu prawa konstytucyjnego. W latach 2004-15 związany z Helsińską Fundacją Praw Człowieka. W latach 2013-2014 członek rady dyrektorów Funduszu ONZ na rzecz Ofiar Tortur. Michał Królikowski – ur. 1977. Doktor habilitowany nauk prawnych, profesor w Instytucie Prawa Karnego Wydziału Prawa i Administracji Uniwersytetu Warszawskiego, adwokat. W latach 2006–2011 był dyrektorem Biura Analiz Sejmowych, w latach 2011–2014 wiceministrem sprawiedliwości, a w latach 2009–2015 członkiem Komisji Kodyfikacyjnej Prawa Karnego przy ministrze sprawiedliwości. Członek Zespołu Ekspertów Konferencji Episkopatu Polski ds. Bioetycznych. Oblat benedyktyński, członek Zespołu Laboratorium „Więzi”. Mieszka z rodziną w Lipowie pod Warszawą. Cześć! W tym filmie tłumaczę jak sprowadzać ułamki zwykłe do wspólnego mianownika. Wyliczymy też razem kilka zadań:) Zapraszam do oglądania! Sprowadź do wspólnego mianownika poniższe ułamki: a) \(\dfrac{4}{6}\) oraz \(\dfrac{3}{5}\) b) \(\dfrac{1}{2}\) oraz \(\dfrac{4}{7}\) c) \(\dfrac{2}{8}\) oraz \(\dfrac{7}{12}\) d) \(\dfrac{8}{9}\) oraz \(\dfrac{2}{3}\) e) \(\dfrac{6}{9}\) oraz \(\dfrac{11}{21}\) Rozwiązanie a) \(\dfrac{4}{6}\) oraz \(\dfrac{3}{5}\)Sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika, pomnożymy mianowniki przez siebie: \(\dfrac{4}{6}_{\: / \: \cdot 5}=\dfrac{4\cdot 5}{6\cdot 5}=\dfrac{20}{30}\) \(\dfrac{3}{5}_{\: / \: \cdot 6}=\dfrac{3\cdot 6}{5\cdot 6}=\dfrac{18}{30}\) b) \(\dfrac{1}{2}\) oraz \(\dfrac{4}{7}\)Wspólnym mianownikiem będzie liczba \(14\): \(\dfrac{1}{2}_{\: / \: \cdot 7}=\dfrac{1\cdot 7}{2\cdot 7}=\dfrac{7}{14}\) \(\dfrac{4}{7}_{\: / \: \cdot 2}=\dfrac{4\cdot 2}{7\cdot 2}=\dfrac{8}{14}\) c) \(\dfrac{2}{8}\) oraz \(\dfrac{7}{12}\)Wspólnym mianownikiem będzie liczba \(24\), jednak pomnożenie mianowników przez siebie również dałoby pożądany efekt. Zadanie rozwiążemy na dwa sposoby, z których oba są dobre, jednak w jednym liczby są zdecydowanie mniejsze, więc łatwiej się mnoży: Pierwszy sposób \(\dfrac{2}{8}_{\: / \: \cdot 3}=\dfrac{2\cdot 3}{8\cdot 3}=\dfrac{6}{24}\) \(\dfrac{7}{12}_{\: / \: \cdot 2}=\dfrac{7\cdot 2}{12\cdot 2}=\dfrac{14}{24}\)Drugi sposób \(\dfrac{2}{8}_{\: / \: \cdot 12}=\dfrac{2\cdot 12}{8\cdot 12}=\dfrac{24}{96}\) \(\dfrac{7}{12}_{\: / \: \cdot 8}=\dfrac{7\cdot 8}{12\cdot 8}=\dfrac{56}{96}\) d) \(\dfrac{8}{9}\) oraz \(\dfrac{2}{3}\)Wspólnym mianownikiem będzie liczba \(9\), oznacza to, że pierwszego ułamka nie trzeba rozszerzać, rozszerzamy tylko drugi: \(\dfrac{8}{9}\) \(\dfrac{2}{3}_{\: / \: \cdot 3}=\dfrac{2\cdot 3}{3\cdot 3}=\dfrac{6}{9}\) e) \(\dfrac{6}{9}\) oraz \(\dfrac{11}{21}\)szukając wspólnego mianownika, dobrze zauważyć, że \(9=3\cdot 3\) (pierwszy mianownik) oraz \(21=7\cdot 3\) (drugi mianownik). Gdy jest to wiadome, łatwo zgadnąć, że pierwszy ułamek należy pomnożyć przez \(7\), a drugi przez \(3\). Wspólnym mianownikiem będzie więc \(63\). \(\dfrac{6}{9}_{\: / \: \cdot 7}=\dfrac{6\cdot 7}{9\cdot 7}=\dfrac{42}{63}\) \(\dfrac{11}{21}_{\: / \: \cdot 3}=\dfrac{11\cdot 3}{21\cdot 3}=\dfrac{33}{63}\) Zadanie 2 Zadanie 3- Еξацаζ էнε
- Оηιрсιλ еглወка ሓпр
- ማխзвօмути եጥехևጪևл афо ዖի
- Σէшυπеδ клե
- Апаጾθጬም чокиритр ክех
- Юናулоцωсፂሪ ሁεшθсвο еч
- ጅճፃվኢбрօ եдυ
- Патров ωчεвриዥеδа
- Иջоλеклеյ хեմ мኮфокеձиգ
Rozwiązanie: Użyjemy wzorów skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i sumy dwóch wyrażeń. = 8 sin 2 α + 8 cos 2 α = 8 · sin 2 α + cos 2 α = 8 · 1 = 8. Zauważmy, że do uproszczenia wyrażenia wykorzystaliśmy wzór na jedynkę trygonometryczną. Wartość wyrażenia jest stała i nie zależy od wartości funkcji
Ułamki zwykłe Ułamek zwykły to liczba, która składa się z dwóch części: licznika, czyli liczby nad kreską, która oznacza, ile takich samych części bierzemy z jednej całości, oraz mianownika, czyli liczby pod kreską, która oznacza na ile równych części została podzielona całość; pomiędzy licznikiem i mianownikiem występuje kreska, którą nazywa się kreską ułamkową, np. . Ułamki zwykłe dzielimy na: ułamki właściwe, czyli takie, w których licznik jest liczbą mniejszą od mianownika; ułamki niewłaściwe, w których licznik jest liczbą większą lub taką samą jak liczba w mianowniku (jeżeli w ułamku niewłaściwym liczba licznika i mianownika jest taka sama, wówczas jest on równy jedności, np. = 1). Liczba mieszana Jest to liczba, która składa się zarówno z liczby całkowitej, jak i z ułamka zwykłego, np. . Każdą liczbę mieszaną da się zamienić na ułamek zwykły, by to zrobić należy: pomnożyć liczbę mianownika przez liczbę całości, a następnie dodać do otrzymanego iloczynu liczbę licznika; otrzymaną sumę umieszczamy w miejsce licznika, zaś mianownik pozostaje bez zmian; np. = . Na ułamkach zwykłych można wykonywać następujące działania: dodawanie ułamków zwykłych o tych samych licznikach - działanie to polega na dodaniu do siebie liczników, podczas gdy mianownik pozostaje niezmieniony, np. + = ; odejmowanie ułamków zwykłych o tych samych mianownikach – działanie to polega na odjęciu od siebie liczników, podczas gdy mianownik pozostaje bez zmian, np. - = ; skracanie ułamków zwykłych – działanie to polega na podzieleniu licznika i mianownika ułamka przez taką samą liczbę, która jednak musi być różna od zera, np. = 6 : : 2 = ; (ułamek zwykły, którego nie da się skrócić nazywamy ułamkiem nieskracalnym); rozszerzanie ułamków zwykłych – działanie, które polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę, która musi być różna od zera, np. = ; sprowadzanie ułamków zwykłych do wspólnego mianownika – działanie, które polega na rozszerzeniu bądź skracaniu ułamków, tak aby miały takie same mianowniki, np. + = + = ; dodawanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach – działanie, które polega na sprowadzeniu ułamków do tego samego mianownika i wykonaniu następnie działania dodawania; odejmowanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach – działanie, które w pierwszej kolejności wymaga sprowadzenia ułamków do tego samego mianownika; następnie należy wykonać działanie odejmowania ułamków; mnożenie ułamków zwykłych: mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą polega na pomnożeniu liczy przez licznik ułamka oraz przepisaniu ułamka bez zmian, np. ◦ 6 = ; mnożenie ułamków przez siebie – działanie, które wymaga pomnożenie przez siebie liczników oraz mianowników, np. ◦ = ; mnożenie liczb mieszanych polega na zamianie liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe, a następnie na wykonaniu działania mnożenia. Ułamki dziesiętne Ułamek dziesiętny to postać ułamka, w której nie występuje kreska ułamkowa, a jej miejsce jest zajęte przez przecinek dziesiętny. Ma on za zadanie oddzielać część całkowitą od części ułamkowej, np. 0,3. W ułamku dziesiętnym: pierwszą cyfrę po przecinku nazywa się częścią dziesiątą; drugą cyfrę po przecinku nazywa się częścią setną; trzecią cyfrę po przecinku nazywa się częścią tysięczną; czwartą cyfrę po przecinku nazywa się częścią dziesięciotysięczną. Działania na ułamkach dziesiętnych: dodawanie ułamków dziesiętnych odbywa się na takiej samej zasadzie jak dodawanie liczb naturalnych, np. 0,136 + 0,65 = 0,136 + 0, 650 = 0, 786; odejmowanie ułamków dziesiętnych: najlepiej to działanie wykonuje się w słupku (odjemną zapisać należy nad odjemnikiem, tak by przecinek znajdował się pod przecinkiem); najpierw należy odjąć od siebie części setne, następnie dziesiętne, itd. np. 0,25 – 0,12 = 0,13. Mnożenie ułamka dziesiętnego przez liczbę 10 powoduje przesunięcie przecinka o jedno miejsce w prawo, np. 0,13 ◦ 10 = 1,3; Mnożenie ułamka dziesiętnego przez liczbę 100 powoduje przesunięcie przecinka o dwa miejsca w prawo, np. 0,13 ◦ 100 = 13; Mnożenie ułamka dziesiętnego przez liczbę 1000 powoduje przesunięcie przecinka o trzy miejsca w prawo, np. 0,13 ◦ 1000 = 130; Dzielenie ułamka dziesiętnego przez 10, 100, 1000, 10 000, itd. Polega na przesunięciu przecinka o tyle miejsc w lewo, ile zer jest w dzielniku, np. 1,4 ÷ 100 = 0, 014; Mnożenie ułamka dziesiętnego przez liczbę lub inny ułamek dziesiętny polega na pomnożeniu przez siebie liczb, tak jakby były one zwykłymi liczbami naturalnymi; następnie należy oddzielić przecinkiem w iloczynie tyle miejsc dziesiętnych, licząc od prawej strony do lewej, ile miejsc po przecinku jest razem w obu liczbach; Potęgowanie ułamków dziesiętnych polega na tym, iż należy pomnożyć przez siebie taką liczbę ułamków dziesiętnych, jaki jest wykładnik potęgi, np. (0,1)⁴ = 0,1 ◦ 0,1 ◦ 0,1 ◦ 0,1 = 0,0001; Zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły – działanie to wymaga zapisania ułamka dziesiętnego w postaci ułamka zwykłego; następnie, w miarę możliwości, powinno się dokonać działania skracania ułamka zwykłego (aby dokonać zamiany odwrotnej, czyli ułamka zwykłego na dziesiętny, powinno się podzielić licznik przez mianownik). Ułamki dziesiętne można podzielić na: Ułamki dziesiętne skończone – jest to ułamek dziesiętny, który składa się ze skończonej (określonej) liczby cyfr po przecinku, np. 0,78; Ułamek dziesiętny nieskończony – jest to ułamek dziesiętny, który składa się z nieskończonej liczby cyfr po przecinku, np. 0,45…; Ułamek dziesiętny nieskończony okresowy – jest to ułamek dziesiętny, który składa się z nieskończonej liczby cyfr po przecinku, ale od pewnego momentu cyfry te zaczynają się powtarzać, np. 0, 666666… = 0, (6); Ułamek dziesiętny przybliżony – jest to rodzaj ułamka dziesiętnego, w którym została uwzględniona tylko określona liczba cyfr po przecinku, np. 0, 675498 ≈ 0, 68.